Drammen jest turystycznym miastem, które znane jest przede wszystkim z dużego ośrodka sportów zimowych. Na wielbicieli sportów zimowych czekają trasy do narciarstwa biegowego i zjazdowego, a latem okolica nadaje się świetnie na piesze wycieczki.
Początki miasta sięgają czasów wikingów, ale większość tutejszych zabytków pochodzi z przełomu XIX i XX w., kiedy Drammen przeżywało okres intensywnego rozwoju gospodarczego. Są wśród nich neogotycki kościół, rokokowy Dwór Fossesholm Herregård oraz budynki Muzeum Sztuki, Historii i Kultury, w skład którego wchodzi Muzeum Drammen.
Do głównych atrakcji Drammen zalicza się Spiralny Tunel od długości 200 metrów, dzięki któremu można samochodem wjechać z miasta na wzgórze Bragernesasen. Miejsce to jest świetnym punktem widokowym na całą okolicę, a na szczycie znajduje się też restauracja oraz zabytkowa armata z czasów oblężenia Drammen na początku XX w.
Oprócz Muzeum Sztuki i Historii Kultury, w którym oglądać można kolekcję sztuki, wyrobów rzemiosła artystycznego oraz niewielki skansen w Drammen znajduje się także Muzeum Nøstetangen poświęcone historii i wyrobom miejscowej huty szkła. Ciekawostką miasta jest najstarszy norweski browar, Aass, którego tradycje sięgają średniowiecza.
Okolice Drammen nadają się doskonale do uprawiania turystyki aktywnej. Jest tu sporo szlaków pieszych prowadzących do urokliwych miejsc, takich jak Szczyt Haukås czy Wąwóz Kjøsterudjuvet. Zimą można uprawiać tu narciarstwo w Ośrodku narciarskim Drammen, latem zaś działa w nim centrum wspinaczkowe.
